Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri - x8rantaiemas

1881 downloads 637 Views 56KB Size Report
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM. Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya. Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri.

SMA - 1

Contoh-contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Jika sudut α dan β lancip, cos α =

berapa nilai cos( α - β ) ?

4 24 dan cos β = , 5 25

Jawab : * diketahui cos α =

4 x ; dimana cos α = 5 r

r

y



x= 4 r=5

α

5 3

α x

r=

x2 + y2

4

r 2 = x2 + y2 y2 = r 2 - x2 = 25 – 16 =9 y = 9 = ± 3 karena sudut lancip berada di kuadran 1 maka nilai yang diambil adalah + 3

sehingga sin α =

3 y = r 5

* diketahui cos β =

24 x ; dimana cos β = 25 r

y2 = r 2 - x2 = 625 – 576 = 49 y=

49 = 7 Æ sudut lancip; sehingga sin β =

y 7 = r 25

Ditanyakan cos( α - β ) ⇒ dari rumus dijabarkan menjadi cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 2 masukkan nilai-nilai di atas : =

4 24 3 7 . + . 5 25 5 25

=

96 21 117 + = 125 125 125

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan BC= 4 cm dan AC = 5 cm. Nilai Cos C adalah….. Jawab :

B 3 (c)

4 (a)

A

C

5 (b) gunakan aturan cosinus

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 2 ab cos C = a 2 + b 2 - c 2 cos C =

=

a2 + b2 − c2 2ab 4 2 + 5 2 − 32 38 19 = = 2.4.5 40 20

3. Diketahui cos A =

4 , berada di kuadran kedua, berapa nilai sin 2A …. 5

Jawab: berada di kuadran kedua berarti x nya negatif kuadran I Æ kuadran II Æ kuadran III Æ kuadran IV Æ

x = + ; y= + x=-;y=+ x=-;y=x = + ; y= -

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 3

cos A =

4 −4 karena di kuadran kedua maka nilai cos A = 5 5

5 3

-4 cos A =

−4 x = 5 r

r 2 = x2 + y2 y2 = r 2 - x2 = 25 – 16 =9 y = 3 Æ sehingga sin A =

y 3 = r 5

sin 2A = 2 sin A cos A 3 −4 − 24 = = 2. . 5 5 25 4. Bentuk

1 − cos 4 x adalah identik dengan … 2

Jawab: 1 − cos 4 x 1 cos 4 x = 2 2 2 =

1 cos(2 x + 2 x) 2 2

=

1 cos 2 x cos 2 x − sin 2 x sin 2 x 2 2

=

1 cos 2 2 x − sin 2 2 x 2 2 WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 4

=

1 (1 − 2 sin 2 2 x) 2 2

=

1 1 - + sin 2 2 x 2 2

= sin 2 2 x

5. Jika

3 1 − cos θ , maka θ = ………. = sin θ 3

jawab : (

1 − cos θ 2 3 ) = ( )2 sin θ 3

1 − 2 cos θ + cos 2 θ 1 = 2 3 sin θ 1 − 2 cos θ + cos 2 θ 1 = 2 3 1 − cos θ 1 – 2 cos θ + cos 2 θ =



1 – 2 cos θ + cos 2 θ =

1 ( 1- cos 2 θ ) 3

1 1 - cos 2 θ 3 3

2 4 - 2 cos θ + cos 2 θ = 0 3 3 4 2 cos 2 θ - 2 cos θ + = 0 3 3

x3

4 cos 2 θ - 6 cos θ + 2 = 0 pakai rumus ABC : Anggap cos θ = x diketahui a = 4 ; b = -6 dan c = 2 x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 5

=

6 ± 36 − 32 6+2 6−2 1 ⇒ x1 = = 1 ; x2 = = 8 8 8 2 x1 = 1 ⇒ cos θ = 1 ; θ = 0 0 x2 =

1 1 ⇒ cos θ = ; θ = 60 0 2 2

Kita masukkan ke dalam persamaan :

θ = 00 1 − cos θ 3 1−1 = ⇒ = ~ ⇒ tidak memenuhi sin θ 3 0

θ = 60 0 1 1 1− 1 − cos θ 3 2 = 2 = = ⇒ 1 1 sin θ 3 3 3 2 2

1 3

=

1 3

x

3 3

=

3 ⇒ memenuhi 3

Sehingga nilai θ = 60 0

6. Bentuk

sin 6 x + sin 4 x senilai dengan …. cos 6 x + cos 4 x

Jawab : 1 1 2 sin (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) sin 6 x + sin 4 x 2 2 = 1 1 cos 6 x + cos 4 x 2 cos (6 x + 4 x) cos (6 x − 4 x) 2 2 = tan

1 10x = tan 5x 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 6 7. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah :

Jawab : untuk pemecahan soal spt ini agak sedikit banyak logika yang dipakai dibarengi dengan teori Urutan pemecahannya: - dari grafik di atas dapat ditentukan bahwa grafik adalah sinusoidal sehingga fungsinya adalah sinus atau cosinus (bukan tangen) - kita tentukan nilai maksimum dan minimum : maksimum adalah 1 dan minimum adalah -1 - kita lihat tabel sudut-sudut istimewa :

α

00

30 0

45 0

Sin

0

1

1

Cos

1

1

Tan

0

1

2 2 3

3 3

1

2

2 1

60 0 2

1

2

1

2 2 3

90 0 3

1 0 ~

kita lihat pada grafik apabila x = 15 0 menunjukkan nilai y= 0 ; karena grafik bergeser ke kanan 15 0 maka fungsi yang dipakai adalah ( x − 15) 0 (kalau bergeser kekiri fungsi yang dipakai ( x + 15) 0 ) kalau dimasukkan nilai 15 0 maka ( x − 15) 0 = 0 0 nilai yang memenuhi adalah fungsi sinus karena sin 0 0 = 0 fungsi grafik yang pertama kita dapat y=sin ( x − 15) 0 tetapi karena nilai minimumnya berada di kuadran pertama maka fungsi grafiknya pertamanya menjadi y= -sin ( x − 15) 0 . (di kuadran pertama standarnya adalah positif) WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 7 Yang perlu diperhatikan lagi pada grafik memperlihatkan ½ perioda (1 perioda adalah 360 0 sehingga persamaan terakhirnya menjadi y= -sin 2 ( x − 15) 0 Kita coba masukkan nilai perpotongan di sumbu x yaitu 15 0 , 105 0 dan 195 0 x = 15 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar x = 105 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 180 0 = - sin( 180 0 - α ) → α = 0 0 maka - sin 180 0 = -sin 0 0 = 0 Æ benar

Nilai minimum y= -1 yaitu di x = 60 0 x = 60 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 90 0 = - 1 Æ benar Nilai maximum y= 1 yaitu di x = 150 0 x = 150 0 → y= -sin 2 ( x − 15) 0 = - sin 270 0 = - sin( 180 0 + α )= sin α = 1 Æ benar

8. Persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 0 < x < 360 0 Jawab : sin x + cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x) 2 = 0 2 ⇔ sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x = 0 ( sin 2 x + cos 2 x = 1 ; 2 sin x cos x = sin2x) ⇔ 1 + sin2x = 0 ⇔ sin2x = -1 Nilai yang memenuhi adalah 2x = 270 0 → x = 135 0 dan 2x = 630 0 → x = 315 0 (ingat sin (k. 360 0 + α ) = sin α ) (dan ingat teori mengenai nilai positif dan negative untuk setiap kuadran) Sehingga HP= { 135 0 , 315 0 }

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

Tensei Shitara Slime Datta Ken | Amazon Mobile LLCApps: Amazon Kindle, Amazon Shopping, Amazon Music, Amazon India Online Shopping and Payments, Amazon Prime Video, Amazon Alexa, Amazon Prime Now, Amazon Photos, Amazon BuyVIP, Amazon Fire TV, Amazon Seller, 亚马逊, Amazon for Tablets, Surprise! by Amazon, Amazon Drive, Amazon Chime, Amazon Prime Now, Amazon Alexa fileplanet, Amazon FreeTime – Kids’ Videos, Books, a, AEA – Amazon Employees, Amazon Kindle Lite – 2MB. Read millions o, Amazon Go, Prime Video - Android TV, Internet: fast, lite, and private, Amazon A to Z, etc. | Getting On (US)